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<!DOCTYPE html>

<title>Kepler-Gleichung</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Kepler-Gleichung</h1>

</header>

</div>

Die Kepler-Gleichung beschreibt in der Astronomie den Zusammenhang zwischen der exzentrischen <a href="Anomalie_(Astronomie)" title="Anomalie (Astronomie)">Anomalie</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> und der mittleren Anomalie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy">, die in der Gleichung die Zeit repräsentiert.

<a href="Johannes_Kepler" title="Johannes Kepler">Johannes Kepler</a> hat die Gleichung aus seinen beobachtungsbasierten <a href="Keplersche_Gesetze" title="Keplersche Gesetze">keplerschen Gesetzen</a> hergeleitet. Sie lautet für elliptischen Bahnen mit der <a href="Exzentrizit%C3%A4t_(Astronomie)" title="Exzentrizität (Astronomie)">numerischen Exzentrizität</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}" loading="lazy">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E-e\sin E=M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/21d50c55fb58641c184e6793ee1878f1c9f82d07.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:16.646ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle E-e\sin E=M}" loading="lazy">.</dd></dl>

Die mittlere Anomalie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> ist dabei eine Winkelgröße, welche eine normalisierte Zeit repräsentiert und über die Gleichung

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M=2\pi {\frac {t}{T}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1de100d8ddff66590ad45c12087f443652e23f86.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:10.508ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle M=2\pi {\frac {t}{T}}}" loading="lazy"></dd></dl>

mit der Zeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> (Passage der Periapsis bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43469ec032d858feae5aa87029e22eaaf0109e9c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.101ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle t=0}" loading="lazy">) und der Periodendauer <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> eines Umlaufs verknüpft ist.<a href="#cite_note-WS-1">[1]</a>

Die exzentrische Anomalie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> ist eine Zwischengröße zur Berechnung der wahren Anomalie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy">, der Winkelkoordinate der Position eines Himmelskörpers bezogen auf den Zentralkörper.

Zwischen exzentrischer Anomalie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> und wahrer Anomalie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> besteht der Zusammenhang<a href="#cite_note-SW-2">[2]</a>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tan {\frac {V}{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\tan {\frac {E}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a3ad96ec4ca0ed8511e1d6da6306e546720266a8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:24.46ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \tan {\frac {V}{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\tan {\frac {E}{2}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Die geometrische Bedeutung dieser beiden Winkelkoordinaten ist in der nebenstehenden Grafik dargestellt. Dabei ist:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> die Position des Himmelskörpers auf der elliptischen Umlaufbahn mit dem Perihel in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> um den Zentralkörper <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy">.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> die wahre Anomalie. Diese gibt den Winkel an, den der Himmelskörper <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> aus Sicht des Zentralkörpers <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> relativ zum Perihel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> einnimmt.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> die exzentrische Anomalie, von Kepler als Exzentrische bezeichnet. Sie bemisst den Winkel zwischen der Periapsislinie und der Radiuslinie des Umkreises, der die Projektion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P^{'}}">

<msup>

<msup>

</msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P^{'}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/63d4392375aacb27b3cefa4126184eac82c2e213.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.585ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P^{'}}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"> auf den Umkreis parallel zur kleinen Ellipsenachse schneidet.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geometrische_Begründung_der_Kepler-Gleichung">Geometrische Begründung der Kepler-Gleichung</h2></div>

Zur Begründung der Kepler-Gleichung berechnet man die vom Fahrstrahl überstrichene Fläche <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> und verwendet das zweite Keplersche Gesetz.

Die Fläche <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> innerhalb des Winkels <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> (wahre Anomalie) und der Ellipse ist die Differenz des Ellipsensektors und des Dreiecks mit den Eckpunkten S, Z und P.

Eine <a href="Ellipse" title="Ellipse">Ellipse</a> mit den Halbachsen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"> kann man als einen gestauchten Umkreis auffassen (<a href="Affinit%C3%A4t_(Mathematik)" title="Affinität (Mathematik)">Affinität</a>), bei dem die Strecken parallel zur kleinen Halbachse um den <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {b}{a}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {b}{a}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2fe57b48d5ecb0ffb15021231156bfab5eacdd54.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:1.706ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {b}{a}}}" loading="lazy"> Faktor verkürzt sind. Flächen sind ebenfalls um diesen Faktor verkleinert. Der <a href="Kreissektor" title="Kreissektor">Kreissektor</a> mit dem Winkel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> hat die Fläche <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}a^{2}E}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}a^{2}E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/69e774c32c0093c6d3929c1b01053855cfdeb921.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:5.718ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}a^{2}E}" loading="lazy">. Gestaucht um den Faktor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {b}{a}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {b}{a}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2fe57b48d5ecb0ffb15021231156bfab5eacdd54.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:1.706ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {b}{a}}}" loading="lazy"> ergibt sich der Ellipsensektor. Das Dreieck mit den Eckpunkten S, Z und P' hat die Basislänge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ea}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ea}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9346c2c6858cdc0634af69307e7f6168d4ba821a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.313ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle ea}" loading="lazy"> und die Höhe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\sin E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\sin E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d7a60778829b8402cd49109d0faeb7dcb0b71422.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.635ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\sin E}" loading="lazy">. Gestaucht um den Faktor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {b}{a}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {b}{a}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2fe57b48d5ecb0ffb15021231156bfab5eacdd54.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:1.706ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {b}{a}}}" loading="lazy"> ergibt sich das Dreieck mit den Eckpunkten S, Z und P und der Höhe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b\sin E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b\sin E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2250156062076d3ee2b156b7084dc506eeacdef1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.403ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b\sin E}" loading="lazy">.

Somit ist die Differenzfläche als Funktion von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy">:

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A(E)={\frac {b}{a}}{\frac {1}{2}}a^{2}E-{\frac {1}{2}}ea\cdot b\sin E={\frac {ab}{2}}(E-e\sin E)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/25cbcd42ef719b08f9116a6202a954b9c19ca866.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:50.861ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle A(E)={\frac {b}{a}}{\frac {1}{2}}a^{2}E-{\frac {1}{2}}ea\cdot b\sin E={\frac {ab}{2}}(E-e\sin E)}" loading="lazy">.</dd></dl>

Nach dem zweiten keplerschen Gesetz werden in gleichen Zeitabschnitten gleich große Flächen überstrichen. Dies lässt sich auch damit formulieren, dass die Fläche zur Zeit proportional ist und linear zunimmt (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\propto t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\propto t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ddb509ce67adaa449d8bebd65b58347015963e59.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.681ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\propto t}" loading="lazy">).

Die Differenzfläche <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy">, die mit der zur wahren Anomalie gehörenden Teilfläche der Ellipse identisch ist, lautet als Funktion der Zeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy">:

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A(t)=\pi ab{\frac {t}{T}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2cf711f7394bc73500af8b5a19479b91cb09f25b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:13.522ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle A(t)=\pi ab{\frac {t}{T}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Dabei ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi ab}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi ab}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e49e097530aa054f7782fc7de33b0a60418ff964.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.559ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \pi ab}" loading="lazy"> die volle Ellipsenfläche, die nach der Umlaufzeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> überstrichen ist. Gleichsetzen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0c0905fbce73d8bde912fb882c351e336ab56cca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.392ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A(t)}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A(E)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A(E)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e28fcc9458be3f8a7ea313fab29919600e6c3af8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.328ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A(E)}" loading="lazy"> liefert die Beziehung zwischen der exzentrischen Anomalie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> und der Zeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy">:

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi ab{\frac {t}{T}}={\frac {ab}{2}}(E-e\sin E)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a62bf54cd8466e0a6982d19fbd291c2dabf83ea9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:25.108ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle \pi ab{\frac {t}{T}}={\frac {ab}{2}}(E-e\sin E)}" loading="lazy"></dd></dl>

und nach Kürzen ergibt sich die Kepler-Gleichung

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\pi {\frac {t}{T}}=E-e\sin E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6fea16269bc15e8e9308ed6d59543cf52748a951.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:19.17ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle 2\pi {\frac {t}{T}}=E-e\sin E}" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei man die linke Seite als mittlere Anomalie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> oder "normierte Zeit"<a href="#cite_note-WS-1">[1]</a> bezeichnet.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Das_zweite_keplersche_Gesetz,_das_newtonsche_Gravitationsgesetz_und_die_Drehimpulserhaltung">Das zweite keplersche Gesetz, das newtonsche Gravitationsgesetz und die Drehimpulserhaltung</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Keplersche_Gesetze#Zweites_Keplersches_Gesetz_(Flächensatz)" title="Keplersche Gesetze">Keplersche_Gesetze#Zweites_Keplersches_Gesetz_(Flächensatz)</a>, <a href="Newtonsches_Gravitationsgesetz" title="Newtonsches Gravitationsgesetz">Newtonsches Gravitationsgesetz</a> und <a href="Drehimpulserhaltung" class="mw-redirect" title="Drehimpulserhaltung">Drehimpulserhaltung</a></div>

Die Keplergleichung beruht auf dem zweiten keplerschen Gesetz, welches von im gleichen Kontext (<a href="Zweik%C3%B6rperproblem" title="Zweikörperproblem">Zweikörperproblem</a>) angewendeten <a href="Newtonsches_Gravitationsgesetz" title="Newtonsches Gravitationsgesetz">newtonschen Gravitationsgesetz</a> bestätigt wird:

<dl><dd><ul><li>Die zwischen den beiden Körpern wirkende <a href="Gravitationskraft" class="mw-redirect" title="Gravitationskraft">Gravitationskraft</a> ist demnach zum gegenseitigen Abstand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1/r^{2}}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1/r^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e752f4949f6d1d2e5dff0a38f696e62c4e315a09.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.428ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle 1/r^{2}}" loading="lazy"> proportional.</li></ul></dd></dl>

Diese physikalische Aussage deckt sich also mit dem für eine elliptische Bahn (erstes keplersches Gesetz) durch Beobachtungen gefundenen Flächensatz (zweites keplersche Gesetz):

<dl><dd><ul><li>Die von einem Fahrstrahl in gleichen Zeitdifferenzen überstrichenen Flächen sind gleich groß, wenn der zur Gravitationskraft proportionale, in einer dieser Zeitdifferenzen zurückgelegte Bahnbogen im umgekehren Verhältnis zum Quadrat des Abstandes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> steht.</li></ul></dd></dl>

Das <a href="Keplersche_Gesetze#Zweites_Keplersches_Gesetz_(Flächensatz)" title="Keplersche Gesetze">zweite keplersche Gesetz</a> war die erste Formulierung des Gesetzes, das wir heute als <a href="Drehimpulserhaltung" class="mw-redirect" title="Drehimpulserhaltung">Drehimpulserhaltung</a> kennen:<a href="#cite_note-3">[3]</a> Wenn keine äußeren Kräfte wirken, bleibt der <a href="Drehimpuls" title="Drehimpuls">Drehimpuls</a> in einem physikalischen System unverändert, unabhängig von Änderungen der Wechselwirkung innerhalb. Wird nämlich der Abstand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> eines Planeten von seinem Zentralkörper und damit sein <a href="Tr%C3%A4gheitsmoment" title="Trägheitsmoment">Trägheitsmoment</a> größer/kleiner, so verkleinert/vergrößert sich entsprechend seine Umlaufgeschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Lösungs-Methoden_der_Keplergleichung">Lösungs-Methoden der Keplergleichung</h2></div>

Die Kepler-Gleichung ist nicht in geschlossener Form nach der exzentrischen Anomalie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf5be62d9f63f5df52e8bc156f950d41e131d99f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.425ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E(t)}" loading="lazy"> auflösbar. Beispiele dafür, wie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf5be62d9f63f5df52e8bc156f950d41e131d99f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.425ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E(t)}" loading="lazy"> mit ihr aus der mittleren Anomalie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M(t)=2\pi {\frac {t-t_{P}}{T}}}">

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M(t)=2\pi {\frac {t-t_{P}}{T}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3fc48163d586014ed7a3145a411edb5569501833.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:17.506ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle M(t)=2\pi {\frac {t-t_{P}}{T}}}" loading="lazy"> ermittelt werden kann:

<ol>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E-M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c2a0ffa225f4f6bb3dc12fa91d70f90ee403db5b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.058ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle E-M}" loading="lazy"> ist eine ungerade, mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\pi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\pi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/73efd1f6493490b058097060a572606d2c550a06.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.494ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2\pi }" loading="lazy"> periodische Funktion in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy">. Als solche lässt sie sich in eine <a href="Fourierreihe" title="Fourierreihe">Fourierreihe</a> entwickeln, die für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M\in \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M\in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f4524e7e5810076a90447eddce020ccb45bb8db0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.961ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M\in \mathbb {R} }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e\in \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e\in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d8d1897527cba5a84e60ec9979c357749fe7a55f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.602ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle e\in \mathbb {R} }" loading="lazy"> konvergiert, und zwar ist

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(M):=E-M=e\sin(E)=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {J_{n}(ne)}{n}}\sin(nM)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6ed1d88ce0aef171969ad2ce414d7896cc8b31f0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:52.717ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle F(M):=E-M=e\sin(E)=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {J_{n}(ne)}{n}}\sin(nM)}" loading="lazy"></dd></dl>

mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/22b79b47e08e4e16510d309639ef56a24c28696c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.509ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle J_{n}}" loading="lazy"> als <a href="Besselsche_Differentialgleichung#Bessel-Funktion_erster_Gattung" class="mw-redirect" title="Besselsche Differentialgleichung">Bessel-Funktion erster Gattung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-ter Ordnung.<a href="#cite_note-4">[4]</a><a href="#cite_note-5">[5]</a>

</li><li>Eine <a href="Nullstelle" title="Nullstelle">Nullstelle</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> der Funktion

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(E)=E-e\sin(E)-M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/293e2e93dda55897a2afef0ddb253b7ea3736044.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.772ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(E)=E-e\sin(E)-M}" loading="lazy"></dd></dl>

ist eine Lösung der Keplergleichung.

Die Nullstelle kann etwa mit dem <a href="Newton-Verfahren" class="mw-redirect" title="Newton-Verfahren">Newton-Verfahren</a> wie folgt numerisch berechnet werden:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{n+1}=E_{n}-{\frac {f(E_{n})}{f'(E_{n})}}=E_{n}-{\frac {E_{n}-e\sin(E_{n})-M}{1-e\cos(E_{n})}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/46d104990a9bebf204bcf6aaa3e641b8c184c7b6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:51.326ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle E_{n+1}=E_{n}-{\frac {f(E_{n})}{f'(E_{n})}}=E_{n}-{\frac {E_{n}-e\sin(E_{n})-M}{1-e\cos(E_{n})}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Für die meisten elliptischen Bahnen ist der Anfangswert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{0}=M}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{0}=M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/21359a853a5c50bf9a7ed34ba82d5e6ed364d029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.31ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{0}=M}" loading="lazy"> geeignet.

Für Exzentrizitäten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0{,}8<e<1}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0{,}8<e<1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7cd7a59940c7053ea87732a66115bed6bc1211c4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.415ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 0{,}8<e<1}" loading="lazy"> kann <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{0}=\pi }">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{0}=\pi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/71713ca27f23b306e10299dfd523bae6084cf0b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.2ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{0}=\pi }" loading="lazy"> genommen werden.

</li><li>Ein <a href="Stabilit%C3%A4t_(Numerik)" title="Stabilität (Numerik)">stabileres</a>, aber <a href="Grenzwert_(Folge)" title="Grenzwert (Folge)">langsamer konvergierendes</a> Verfahren beruht auf dem <a href="Fixpunktsatz_von_Banach" title="Fixpunktsatz von Banach">banachschen Fixpunktsatz</a>:<a href="#cite_note-6">[6]</a>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{0}=M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/21359a853a5c50bf9a7ed34ba82d5e6ed364d029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.31ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{0}=M}" loading="lazy"></dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{n+1}=M+e\sin(E_{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e0108fe9d1ad4825dc33754e562797e462df6c6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.485ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E_{n+1}=M+e\sin(E_{n})}" loading="lazy"></dd></dl>

</li><li>Für kleine Exzentrizität <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}" loading="lazy"> kann <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> auch folgendermaßen <a href="Approximation" title="Approximation">approximiert</a> werden:<a href="#cite_note-7">[7]</a>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E=M+e\sin(M)+{\frac {1}{2}}e^{2}\sin(2M)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bb09df8933be449fe9ceae76605b8d247ebb5391.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:34.368ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle E=M+e\sin(M)+{\frac {1}{2}}e^{2}\sin(2M)}" loading="lazy"></dd></dl>

Der <a href="Fehler" title="Fehler">Fehler</a> ist hierbei von der Größenordnung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {O}}(e^{3})}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {O}}(e^{3})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf219b6df10ec2650e5d858388fc1c12e1c08c28.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.797ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {O}}(e^{3})}" loading="lazy">. Bei der <a href="Erde" title="Erde">Erde</a> und ihrer Exzentrizität <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e=0{,}0167}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e=0{,}0167}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de97293bc1ddfa5195b1a3addcda2b6f6fb394f8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.641ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle e=0{,}0167}" loading="lazy"> liegt der Fehler für begrenzte Zeiträume hinter der 5. <a href="Kommastelle" class="mw-redirect" title="Kommastelle">Kommastelle</a>.

</li><li>Eine Auflösung für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e<1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e<1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2c702b141b56e60fdcb2c72832b2dcf0484607af.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle e<1}" loading="lazy"> nach Art der <a href="Lagrangesche_Inversionsformel" title="Lagrangesche Inversionsformel">Lagrangeschen Inversionsformel</a> ist die <a href="Maclaurin-Reihe" class="mw-redirect" title="Maclaurin-Reihe">Maclaurin-Reihe</a> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy">

<mtr>

<mtd>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

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</mrow>

</msup>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

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</mrow>

</msup>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

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</mrow>

</msup>

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<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

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</mrow>

</msup>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

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<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

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</mrow>

</msup>

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</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

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</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

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<mrow>

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</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

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</mrow>

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<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mfrac>

<mrow>

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</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

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</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}E={\frac {1}{1-e}}\cdot M&-{\frac {e}{(1-e)^{4}}}\cdot {\frac {M^{3}}{3!}}+{\frac {(e+9e^{2})}{(1-e)^{7}}}\cdot {\frac {M^{5}}{5!}}-{\frac {(e+54e^{2}+225e^{3})}{(1-e)^{10}}}\cdot {\frac {M^{7}}{7!}}\\&+{\frac {(e+243e^{2}+4131e^{3}+11025e^{4})}{(1-e)^{13}}}{\frac {M^{9}}{9!}}-{\frac {(e+1008e^{2}+50166e^{3}+457200e^{4}+893025e^{5})}{(1-e)^{16}}}\cdot {\frac {M^{11}}{{11}!}}\\&+{\frac {(e+4077e^{2}+520218e^{3}+11708154e^{4}+70301925e^{5}+108056025e^{6})}{(1-e)^{19}}}\cdot {\frac {M^{13}}{{13}!}}\mp \cdots \end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/18175528f4d51abc900f8f3753183f978436c175.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -9.326ex; margin-bottom: -0.178ex; width:113.295ex; height:20.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}E={\frac {1}{1-e}}\cdot M&-{\frac {e}{(1-e)^{4}}}\cdot {\frac {M^{3}}{3!}}+{\frac {(e+9e^{2})}{(1-e)^{7}}}\cdot {\frac {M^{5}}{5!}}-{\frac {(e+54e^{2}+225e^{3})}{(1-e)^{10}}}\cdot {\frac {M^{7}}{7!}}\\&+{\frac {(e+243e^{2}+4131e^{3}+11025e^{4})}{(1-e)^{13}}}{\frac {M^{9}}{9!}}-{\frac {(e+1008e^{2}+50166e^{3}+457200e^{4}+893025e^{5})}{(1-e)^{16}}}\cdot {\frac {M^{11}}{{11}!}}\\&+{\frac {(e+4077e^{2}+520218e^{3}+11708154e^{4}+70301925e^{5}+108056025e^{6})}{(1-e)^{19}}}\cdot {\frac {M^{13}}{{13}!}}\mp \cdots \end{aligned}}}" loading="lazy">

die für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |M|<\cosh ^{-1}(e^{-1})-{\sqrt {1-e^{2}}}}">

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |M|<\cosh ^{-1}(e^{-1})-{\sqrt {1-e^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/02ec2da3187d6ff843568a7077d43f49067e639d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.101ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle |M|<\cosh ^{-1}(e^{-1})-{\sqrt {1-e^{2}}}}" loading="lazy"> <a href="Konvergenzgeschwindigkeit" title="Konvergenzgeschwindigkeit">linear</a> konvergiert.

Ist also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0\leq e<0{,}031803066}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\leq e<0{,}031803066}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b59f5d9650773607dbc14bc867585e5cca01b9d1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:20.714ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 0\leq e<0{,}031803066}" loading="lazy">, dann konvergiert sie für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |M|\leq \pi }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |M|\leq \pi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dbd99e5e087a5c6f6c0dac27a6f6371708b5e123.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.166ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |M|\leq \pi }" loading="lazy"> linear. Die Koeffizienten der Zähler-Polynome in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}" loading="lazy"> sind in der Folge <a href="https://oeis.org/A306557" class="extiw external" title="oeis:A306557">A306557</a> in <a href="On-Line_Encyclopedia_of_Integer_Sequences" title="On-Line Encyclopedia of Integer Sequences">OEIS</a> festgehalten.

</li></ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Rechnen_mit_der_Kepler-Gleichung">Rechnen mit der Kepler-Gleichung</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Mittlere_Anomalie_>>>_wahre_Anomalie">Mittlere Anomalie >>> wahre Anomalie</h3></div>

Für einen Himmelskörper auf einer <a href="Keplerbahn" title="Keplerbahn">Keplerbahn</a> soll für den Zeitpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> beziehungsweise für die zugehörige mittlere Anomalie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fec7adc70ea0e1d365e5f7244b6f7ddad9fbf485.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.091ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle M(t)}" loading="lazy"> der Ort beziehungsweise die wahre Anomalie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/383b47023708ac9df0e198448491048ec7acb2cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.436ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle V(t)}" loading="lazy"> ermittelt werden:

Mit Hilfe der Kepler-Gleichung wird aus der mittleren Anomalie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fec7adc70ea0e1d365e5f7244b6f7ddad9fbf485.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.091ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle M(t)}" loading="lazy"> zuerst die exzentrische Anomalie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf5be62d9f63f5df52e8bc156f950d41e131d99f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.425ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E(t)}" loading="lazy"> ermittelt (siehe oben). Aus Letzterer folgt die wahre Anomalie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/383b47023708ac9df0e198448491048ec7acb2cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.436ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle V(t)}" loading="lazy"> nach einer der folgenden Beziehungen:

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msqrt>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tan \left({\frac {V}{2}}\right)={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\tan \left({\frac {E}{2}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6a4f3ff8f44db0880a57519c9e856c3f0e5d24c1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:30.528ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \tan \left({\frac {V}{2}}\right)={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\tan \left({\frac {E}{2}}\right)}" loading="lazy"><a href="#cite_note-SW-2">[2]</a></dd></dl>

oder

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos(V)={\frac {a\cos(E)-ae}{a-ae\cos(E)}}={\frac {\cos(E)-e}{1-e\cos(E)}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5772627b8d4506fb8b8ec9cedbcc21b792423a6e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:40.213ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \cos(V)={\frac {a\cos(E)-ae}{a-ae\cos(E)}}={\frac {\cos(E)-e}{1-e\cos(E)}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Hier ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ae={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}">

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ae={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/60f1ee94f52403d319c928d51c9fafa35a6bee8f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.912ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle ae={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}" loading="lazy"> die <a href="Lineare_Exzentrizit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Lineare Exzentrizität">lineare Exzentrizität</a> der Bahnellipse. Zum Auflösen nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> ist jeweils eine Unterscheidung der Fälle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0\leq E\leq \pi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\leq E\leq \pi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/392a5914f7313c8ad2f61baf000c6ba92a95e9b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:10.467ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 0\leq E\leq \pi }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi \leq E\leq 2\pi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi \leq E\leq 2\pi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/15cea5cddcfb129e7804a0b84f0df5b759254d6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.799ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \pi \leq E\leq 2\pi }" loading="lazy"> nötig.

Anmerkung: Der Nenner der zweiten Formel gibt gerade den Abstand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> des Himmelsobjekts zum Brennpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> an:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=a-ae\cos(E)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6ac7a11475eed83c2eed188cbc039eed6780133b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.614ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle r=a-ae\cos(E)}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Wahre_Anomalie_>>>_mittlere_Anomalie">Wahre Anomalie >>> mittlere Anomalie</h3></div>

Für einen Himmelskörper auf einer Keplerbahn mit der wahren Anomalie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> soll die mittlere Anomalie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M(V)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M(V)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/334fd50180c271c5923a9425a0fc450420742e0a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.039ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle M(V)}" loading="lazy"> bzw. der zugehörende Zeitpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t(V)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t(V)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e62a2853b49d9e588a61da440ca65a07bca9f14.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.436ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle t(V)}" loading="lazy"> bestimmt werden.

Es handelt sich um die zur <a href="#Wahre_Anomalie">obigen</a> umgekehrte Rechenarbeit.

Ausgehend von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> ergibt sich zuerst die exzentrische Anomalie zu

<msub>

<mi>arctan</mi>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<msqrt>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E=2\arctan _{\tfrac {V}{2}}\left({\sqrt {\frac {1-e}{1+e}}}\tan \left({\frac {V}{2}}\right)\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ebbcada65101237dc6d57a3efc8cd8ad5a1ebf18.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:36.681ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle E=2\arctan _{\tfrac {V}{2}}\left({\sqrt {\frac {1-e}{1+e}}}\tan \left({\frac {V}{2}}\right)\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

Der Lageparameter-Index <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {V}{2}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {V}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3b0586864ecfdf9309ea5db3e0269a69adf735b4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:2.1ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {V}{2}}}" loading="lazy"> bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \arctan }">

<mi>arctan</mi>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \arctan }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0e7b430086dd06a52623bbaa883d86baf9811554.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.466ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \arctan }" loading="lazy"> gibt denjenigen Wert des Arkustangens zurück, der diesem (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {V}{2}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {V}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3b0586864ecfdf9309ea5db3e0269a69adf735b4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:2.1ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {V}{2}}}" loading="lazy">) am nächsten liegt (siehe <a href="Arkustangens_und_Arkuskotangens#Arkustangens_mit_Lageparameter" title="Arkustangens und Arkuskotangens">Arkustangens mit Lageparameter</a>).

Die Kepler-Gleichung liefert die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> zugehörige mittlere Anomalie

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M(t)=E(t)-{\frac {180^{\circ }}{\pi }}e\sin E(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1407492c24aebc014ec03d9c5441d76c177675e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:29.97ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle M(t)=E(t)-{\frac {180^{\circ }}{\pi }}e\sin E(t)}" loading="lazy"></dd></dl>

Aus der linearen Gleichung für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fec7adc70ea0e1d365e5f7244b6f7ddad9fbf485.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.091ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle M(t)}" loading="lazy"> folgt schließlich der Zeitpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy">:

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t=t_{0}+T{\frac {M}{360^{\circ }}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cbf29dd509c9582c15dde0acfc01a4b0400ad498.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:15.686ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle t=t_{0}+T{\frac {M}{360^{\circ }}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<dl><dt>Beispiel zu</dt>

<dd>wahre Anomalie >>> Zeitpunkt</dd></dl>

Passagezeiten der vier Erdbahnellipsen-Scheitel:

Die für die Erde gültigen Bahnelemente sind unter <a href="Erdbahn#Mittlere_Kepler-Elemente" title="Erdbahn">mittlere Kepler-Elemente</a> angegeben. Die im Verweisartikel verwendete Zeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> ist in Julianischen Jahrhunderten gerechnet. Hier wird <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> in Tagen gemessen, sodass die linearen Koeffizienten der Zeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> durch 36525 zu teilen sind, um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {M}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {M}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4e17d7f361e94093d5346b9d04a5d4b8c7f4d22f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\dot {M}}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {e}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {e}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cc7be5ff6c22d2bbd824fc8d38722bb4f59ed76f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.292ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\dot {e}}}" loading="lazy"> zu erhalten. Die sehr langsame Änderung der numerischen Exzentrizität wird allerdings vernachlässigt (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {e}}=0}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {e}}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d37968a92fab72ee5834c530e20da05b704d144b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.553ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\dot {e}}=0}" loading="lazy">). Der Nullpunkt der Zeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> – und damit auch von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> – ist der 1. Januar 2000, 12:00 <a href="Koordinierte_Weltzeit" title="Koordinierte Weltzeit">UT</a>. Die wahre Anomalie bei Perihelpassage der Erde im Jahr 2000 ist gleich 360° (nicht null!), im Jahr 2001 gleich 720° usw.

Passagezeiten der vier Erdbahnellipsen-Scheitel

</caption>

<td>

</td>

<td>Perihel 2000

</td>

<td>Frühlings- Nebenscheitel

</td>

<td>Aphel

</td>

<td>Herbst- Nebenscheitel

</td>

<td>Perihel 2001

</td></tr>

<tr>

<td>Wahre Anomalie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V/^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V/^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458b65992ad441a5d67564fe7b56fc5d32242008.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.004ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle V/^{\circ }}" loading="lazy">

</td>

<td>360

</td>

<td>450

</td>

<td>540

</td>

<td>630

</td>

<td>720

</td></tr>

<tr>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t/{\text{d}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/50af91ef57f2651b60c4e6d2b8e589f1e26755b9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.295ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle t/{\text{d}}}" loading="lazy">

</td>

<td>2,511

</td>

<td>91,883

</td>

<td>185,140

</td>

<td>278,398

</td>

<td>367,770

</td></tr>

<tr>

<td>Zeitabstand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta t/{\text{d}}}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta t/{\text{d}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ed4b05a5981abf579871a3cf30e7c88f5c777139.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.23ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Delta t/{\text{d}}}" loading="lazy">

</td>

<td>

</td>

<td>89,372

</td>

<td>93,258

</td>

<td>93,258

</td>

<td>89,372

</td></tr></tbody></table>

Der Abstand zwischen den mittleren Perihelpassagen (<a href="Anomalistische_Periode" title="Anomalistische Periode">anomalistisches Jahr</a>) beträgt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J_{an}={\frac {360^{\circ }}{\dot {M}}}=365{,}260\ {\text{d}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J_{an}={\frac {360^{\circ }}{\dot {M}}}=365{,}260\ {\text{d}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9dd2a2d9993b2a3c703628c9335cfd2fad407b27.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:24.448ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle J_{an}={\frac {360^{\circ }}{\dot {M}}}=365{,}260\ {\text{d}}}" loading="lazy">. Die so berechneten mittleren Perihelzeiten können sich um mehrere Tage vom realen (vor allem mondgestörten) Wert unterscheiden.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Wahre_Anomalie_>>>_Bahnradius">Wahre Anomalie >>> Bahnradius</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Keplerbahn" title="Keplerbahn">Keplerbahn</a></div>

Mit der wahren Anomalie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> wird die Richtung eines Himmelskörpers auf seiner Keplerbahn für den Zeitpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> angegeben. Die zugehörende Entfernung – der Bahnradius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> – ist wie folgt berechenbar:

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r(t)=r(V(t))=a{\frac {1-e^{2}}{1+e\cos V}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e8cf1f1b6eb05584139e0c3a2a5bcf4d30ba0dd2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:30.013ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle r(t)=r(V(t))=a{\frac {1-e^{2}}{1+e\cos V}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Wahre_Anomalie_>>>_Bahngeschwindigkeit">Wahre Anomalie >>> Bahngeschwindigkeit</h3></div>

Die zeitliche Änderung der wahren Anomalie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {V}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {V}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/49ef9fa9f410331b94e4578bab90e9edda5c919b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\dot {V}}}" loading="lazy"> entspricht der <a href="Winkelgeschwindigkeit" title="Winkelgeschwindigkeit">Winkelgeschwindigkeit</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }" loading="lazy"> in Bezug auf das Gravizentrum. Die Normalkomponente der Geschwindigkeit folgt also direkt aus

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{\perp }={\dot {V}}\cdot r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/96b7e61f3b309c8d912aebe139051f318e1f51bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.252ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle v_{\perp }={\dot {V}}\cdot r}" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> der Bahnradius ist.

Die Radialgeschwindigkeit ist die Änderung des Bahnradius mit der Zeit

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{r}={\dot {r}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48265e7f7b1fa8ef74f99a5d99a7d3a5f158193e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.491ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle v_{r}={\dot {r}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Für die <a href="Bahngeschwindigkeit_(Astronomie)" title="Bahngeschwindigkeit (Astronomie)">Bahngeschwindigkeit</a> oder Orbitalgeschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.128ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle v}" loading="lazy"> folgt dann <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v^{2}=v_{\perp }^{2}+v_{r}^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v^{2}=v_{\perp }^{2}+v_{r}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a947f28f4425e19885c9de823f435c007ae22a78.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:12.941ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle v^{2}=v_{\perp }^{2}+v_{r}^{2}}" loading="lazy">

<msqrt>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v=v(V(t),r(t))=v(t)={\sqrt {({\dot {V}}r)^{2}+{\dot {r}}^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5b0914f3fed6c528e16290eecd00ff2418b3a41c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:39.513ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle v=v(V(t),r(t))=v(t)={\sqrt {({\dot {V}}r)^{2}+{\dot {r}}^{2}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Einfacher lässt sich die Bahngeschwindigkeit über den <a href="Hodograph" title="Hodograph">Hodograph</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\vec {r}}}}">

<mover>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\vec {r}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3d0622c7d4647179011ad0bc43548fc6abd756db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.257ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\vec {r}}}}" loading="lazy"> aus dem Flächensatz ableiten:<a href="#cite_note-Hodograph-8">[8]</a>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v^{2}={\frac {C^{2}}{p}}\left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b97833e70dc6ca33600779cd7ef730d7fc0dcb38.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:19.682ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle v^{2}={\frac {C^{2}}{p}}\left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)}" loading="lazy"></dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C\!:}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef93cf8e39436d682e375b3d717166b896708d37.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.671ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C\!:}" loading="lazy"> <a href="Spezifischer_Drehimpuls" title="Spezifischer Drehimpuls">spezifischer Drehimpuls</a> als zentrale Kenngröße der Bewegung</dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C=v_{\mathrm {max} }r_{\mathrm {min} }=v_{\mathrm {min} }r_{\mathrm {max} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0248924a109a940a5dbfcf2db4c52caa8eaf9ced.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:24.843ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C=v_{\mathrm {max} }r_{\mathrm {min} }=v_{\mathrm {min} }r_{\mathrm {max} }}" loading="lazy"></dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p\!:}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87178d196e3e4452bf8c42882f5bf7dc2cdf008f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.164ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p\!:}" loading="lazy"> <a href="Ellipse#Halbparameter" title="Ellipse">Halbparameter</a> als kennzeichnendes Bahnelement</dd>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=2{\frac {r_{\mathrm {min} }r_{\mathrm {max} }}{r_{\mathrm {min} }+r_{\mathrm {max} }}}={\frac {b^{2}}{a}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4c79ca46c509cc8093361cab0b5ea07139db5a0c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; margin-left: -0.089ex; width:23.544ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle p=2{\frac {r_{\mathrm {min} }r_{\mathrm {max} }}{r_{\mathrm {min} }+r_{\mathrm {max} }}}={\frac {b^{2}}{a}}}" loading="lazy"></dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\!:}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0426e49d41d203341b9cf66ca86311c458ff2f42.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.135ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a\!:}" loading="lazy"> große Halbachse</dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b\!:}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/213044cf67c9ef3abf37a6df9d9d605abf18e523.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.902ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b\!:}" loading="lazy"> kleine Halbachse</dd>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {C^{2}}{p}}=GM}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0560cf451207e041a68eeb04100901ed0e3d8c72.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:11.056ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {C^{2}}{p}}=GM}" loading="lazy"> mit <a href="Gravitationskonstante" title="Gravitationskonstante">Gravitationskonstante</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"> und Masse <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> des Zentralkörpers</dd></dl>

Daraus folgen die Minimal- und Maximalgeschwindigkeit im <a href="Perizentrum" class="mw-redirect" title="Perizentrum">Apozentrum und Perizentrum</a> einer Ellipsenbahn:<a href="#cite_note-Hodograph-8">[8]</a>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{\mathrm {max} }^{2}={\frac {C^{2}}{pa}}{\frac {1+e}{1-e}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/95ba3633eb948e99b889ff5321e6b02bcdd96eca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:17.128ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle v_{\mathrm {max} }^{2}={\frac {C^{2}}{pa}}{\frac {1+e}{1-e}}}" loading="lazy"></dd>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{\mathrm {min} }^{2}={\frac {C^{2}}{pa}}{\frac {1-e}{1+e}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/666163e1b82cc8c841830f98469d5d88e644dd2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:16.809ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle v_{\mathrm {min} }^{2}={\frac {C^{2}}{pa}}{\frac {1-e}{1+e}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Weitere_Zusammenhänge">Weitere Zusammenhänge</h3></div>

Zwischen der wahren Anomalie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V,}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ace9595e3ce66fdec7e9d30202626accd676b11e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.434ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle V,}" loading="lazy"> der exzentrischen Anomalie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> und der mittleren Anomalie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> bestehen noch zahlreiche weitere Zusammenhänge,<a href="#cite_note-Aufgaben-9">[9]</a> die in der langen Geschichte der <a href="Himmelsmechanik" title="Himmelsmechanik">Himmelsmechanik</a> entwickelt wurden. Insbesondere lässt sich die wahre Anomalie – ohne Umweg über die Keplergleichung – direkt aus einer speziellen <a href="Differenzialgleichung" class="mw-redirect" title="Differenzialgleichung">Differenzialgleichung</a> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> errechnen,<a href="#cite_note-Aufgaben10-10">[10]</a> was für numerische Näherungsverfahren von Interesse ist.

Insbesondere kann auch hier die wahre Anomalie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> durch die mittlere Anomalie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> für kleine Exzentrizitäten genähert werden, es ergibt sich die nützliche Näherung

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V=M+2e\sin(M)+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin(2M)+\cdots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cbad7b6f9fbff75c4a671497abd1361a9ce06585.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:41.105ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle V=M+2e\sin(M)+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin(2M)+\cdots }" loading="lazy"></dd></dl>

Die Differenz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> − <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> heißt <a href="Mittelpunktsgleichung" title="Mittelpunktsgleichung">Mittelpunktsgleichung</a>.<a href="#cite_note-Aufgaben10-10">[10]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendung_der_Kepler-Gleichung_bei_der_Zeitgleichung">Anwendung der Kepler-Gleichung bei der Zeitgleichung</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Zeitgleichung" title="Zeitgleichung">Zeitgleichung</a></div>

Die Zeitgleichung wird im vorliegenden Artikel dennoch ausführlicher behandelt, weil ihre Berechnung mit der im Hauptartikel nicht in allen Teilen identisch, sondern eine Variante davon ist. Dort wird von den <a href="Bahnelemente" class="mw-redirect" title="Bahnelemente">Bahnelementen</a> der Sonne ausgegangen, die ab dem 1. Januar 2000 12:00 <a href="Koordinierte_Weltzeit" title="Koordinierte Weltzeit">UTC</a> auf den Tag der zu berechnenden Zeitgleichung hochzurechnen sind. Hier werden für den 1. Januar für bis zum Jahr 2025 vorausbestimmte sogenannte solare Basiswerte benutzt.<a href="#cite_note-11">[11]</a>

Die Hochrechnung bis zu einem Kalendertag im laufenden Jahr ist entsprechend kürzer.

Hier wird direkt mit der Keplergleichung gearbeitet, dort mit der von dieser abgeleiteten <a href="Mittelpunktsgleichung" title="Mittelpunktsgleichung">Mittelpunktsgleichung</a>, was die Rechnung dort verkürzt.

In die Zeitgleichung geht der Ort der Erde auf ihrer elliptischen Bahn um die Sonne um 12:00 UTC des vorgegebenen Tages im Jahr ein. Diese wird mit Anwendung der Kepler-Gleichung als exzentrische Anomalie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> ermittelt und in die „wahre Anomalie“ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> umgerechnet. Nach dem Übergang zum geozentrischen Weltbild wird daraus die Folge der ungleichmäßigen Bahnfahrt (<a href="Zeitgleichung#Erste_Ursache" title="Zeitgleichung">erste Zeitgleichungsursache</a>) auf das von der Sonne abgeleitete Zeitmaß (<a href="Wahre_Sonnenzeit" class="mw-redirect" title="Wahre Sonnenzeit">Wahre Sonnenzeit</a> WOZ) berechnet.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Definitionen_der_Zeitgleichung">Definitionen der Zeitgleichung</h3></div>

Erste Definition:<a href="#cite_note-12">[A 1]</a>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {(10)} \quad \mathrm {ZG} =\mathrm {WOZ} -\mathrm {MOZ} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a98fdf658a64f6be69a505f0a311e173f1c8a317.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.617ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {(10)} \quad \mathrm {ZG} =\mathrm {WOZ} -\mathrm {MOZ} }" loading="lazy"></dd></dl>

Dem Wert der <a href="Wahre_Ortszeit" class="mw-redirect" title="Wahre Ortszeit">wahren Ortszeit</a> (WOZ) bzw. <a href="Mittlere_Ortszeit" class="mw-redirect" title="Mittlere Ortszeit">mittleren Ortszeit</a> (MOZ) entspricht der jeweilige Stand der wahren bzw. einer fiktiven mittleren Sonne am Himmel (geozentrische Sichtweise). Da die Tageszeit im Zusammenhang mit der Drehung der Erde um ihre Achse steht, interessiert nur die jeweilige <a href="Rektaszension" title="Rektaszension">Rektaszension</a> (nicht die <a href="Deklination_(Astronomie)" title="Deklination (Astronomie)">Deklination</a>) der Sonne(n). Die die gleichmäßig vergehende Zeit repräsentierende mittlere Sonne läuft auf dem Himmelsäquator um. Die Zeitgleichung ist proportional zur Differenz zwischen den Rektaszensionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha _{M}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha _{M}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d2d81b7955c8210825a3d68cb5d87b65568f126f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.447ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \alpha _{M}}" loading="lazy"> der fiktiven mittleren und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"> der realen wahren Sonne.

Zweite Definition:

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {(11)} \quad {\text{ZG}}=4(\alpha _{M}-\alpha )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7da9ba33bce6b642a7260690d723c299f0369515.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.546ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {(11)} \quad {\text{ZG}}=4(\alpha _{M}-\alpha )}" loading="lazy"></dd></dl>

Der Faktor 4 ergibt sich daraus, dass zwei Himmelskörper mit 1° Rektaszensionsdifferenz den Meridian im zeitlichen Abstand von 4 Minuten passieren. Die Reihenfolge der beiden Subtraktionsterme hat sich umgekehrt, weil die Richtungen für den <a href="Stundenwinkel" title="Stundenwinkel">Stundenwinkel</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }" loading="lazy"> (ihm entsprechen WOZ und MOZ) und die Rektaszension <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"> zueinander entgegengesetzt definiert sind.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Vorgehens-Übersicht">Vorgehens-Übersicht</h3></div>

Die Keplergleichung wird im Anfangsteil der Berechnung der Zeitgleichung benutzt. Dabei wird im <a href="Heliozentrisches_Weltbild" title="Heliozentrisches Weltbild">Heliozentrischen Weltbild</a> verblieben.

Die vorgegebene Zeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> wird mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fec7adc70ea0e1d365e5f7244b6f7ddad9fbf485.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.091ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle M(t)}" loading="lazy"> dargestellt. Mit Hilfe der Keplergleichung wird <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf5be62d9f63f5df52e8bc156f950d41e131d99f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.425ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E(t)}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fec7adc70ea0e1d365e5f7244b6f7ddad9fbf485.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.091ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle M(t)}" loading="lazy"> errechnet.

Die Anwendung der Kepler-Gleichung endet hier.

Aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf5be62d9f63f5df52e8bc156f950d41e131d99f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.425ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E(t)}" loading="lazy"> wird noch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/383b47023708ac9df0e198448491048ec7acb2cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.436ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle V(t)}" loading="lazy"> (erste der nebenstehenden Abbildungen, bei Kepler mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> bezeichnet) ermittelt, bevor ins geozentrische Weltbild gewechselt und die Herleitung der Zeitgleichung beendet wird.

Fortsetzung der Ermittlung der Zeitgleichung:

In der Zeitgleichung werden die Rektaszensionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha _{M}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha _{M}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d2d81b7955c8210825a3d68cb5d87b65568f126f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.447ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \alpha _{M}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"> , deren Bezugspunkt der Frühlingspunk ist, gegenseitig verrechnet. Der Bezugswechsel vom Perihel zum Frühlingspunkt wurde noch vor dem Wechsel zum geozentrischen Weltbild (zweite der nebenstehenden Abbildungen) vorgenommen. Dabei entstand aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/383b47023708ac9df0e198448491048ec7acb2cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.436ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle V(t)}" loading="lazy"> die ekliptikale Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda ,}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda ,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/00aebb041f4a569408e310294efcc29e0eded7dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.002ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \lambda ,}" loading="lazy"> die im geozentrischen Weltbild 1:1 übernommen wird.

Anstatt der Anomalie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fec7adc70ea0e1d365e5f7244b6f7ddad9fbf485.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.091ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle M(t)}" loading="lazy"> des Perihels wird jetzt die Anomalie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8db1ab667b7327d5df3aa6f10c853cf3557acf87.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.232ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L(t)}" loading="lazy"> des Frühlingspunktes gebraucht.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Anwendung_der_Kepler-Gleichung">Anwendung der Kepler-Gleichung</h3></div>

Mittlere Anomalie für den fiktiven Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"> :

Die in Gleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {(1)} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {(1)} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b6faf7e42d1edf1ee53382ff16c81f7fc11ae792.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.972ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {(1)} }" loading="lazy"> allgemein formulierte mittlere Anomalie lautet im Zusammenhang mit der Zeitgleichung:

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {(12)} \quad M(t)={\frac {360^{\circ }}{J_{\text{an}}}}(t-t_{P})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a61c52e3ddc15b50fbc3ef9ff630291edfef05e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:27.82ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {(12)} \quad M(t)={\frac {360^{\circ }}{J_{\text{an}}}}(t-t_{P})}" loading="lazy">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J_{\text{an}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b50a39415df1549f8b5cefeec0a21c32fbc42fd1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.258ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle J_{\text{an}}}" loading="lazy">: <a href="Anomalistisches_Jahr" title="Anomalistisches Jahr">anomalistisches Jahr</a> zwischen zwei Passagen des Perihels</dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{P}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5190f9ac88f7527038d929916c0db1b7024ca6bf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.306ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t_{P}}" loading="lazy">: Zeitpunkt der Perihel-Passage</dd></dl></dd></dl>

Bei Periheldurchgang hat die mittlere Anomalie folgenden Wert:

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {(13)} \quad M_{0}=-{\frac {360^{\circ }}{J_{\text{an}}}}t_{P}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a564f44b3baf1841dbcab01f231d256d9f717a1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:22.356ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {(13)} \quad M_{0}=-{\frac {360^{\circ }}{J_{\text{an}}}}t_{P}}" loading="lazy"></dd></dl>

Bei der Zeitgleichung ist es üblich, die Werte eines Kalenderjahres im entsprechenden <a href="Astronomisches_Jahrbuch" title="Astronomisches Jahrbuch">Astronomischen Jahrbuch</a> zu veröffentlichen. Der 1. Januar 12:00 (UT) des entsprechenden Jahres wird als Nullpunkt für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> verwendet, sodass gegenwärtig für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{P}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{P}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5190f9ac88f7527038d929916c0db1b7024ca6bf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.306ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t_{P}}" loading="lazy"> etwa 2 bis 3 Tage und daraus für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/909a62f3ff41169372143733d3767afe0ad3b14d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.308ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle M_{0}}" loading="lazy"> etwa 2° bis 3° gelten.<a href="#cite_note-13">[12]</a> Es hat sich bequemerweise eingebürgert, den jeweils neuen Wert für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/909a62f3ff41169372143733d3767afe0ad3b14d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.308ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle M_{0}}" loading="lazy"> als eine sogenannte Jahreskonstante (eine der sogenanntewn Basiswerte, s. o.) im Voraus zu veröffentlichen.

Mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/909a62f3ff41169372143733d3767afe0ad3b14d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.308ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle M_{0}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> ab 1. Januar 12:00 (UT) wird aus Gleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {(12)} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {(12)} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7aa1b7e1f5b30d8439372c22e641396942918516.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.134ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {(12)} }" loading="lazy">:

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M(t)=M_{0}+{\frac {360^{\circ }}{J_{\text{an}}}}t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/57941f72c75b3bcceefe7cc6e8cd0702a4574088.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:20.556ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle M(t)=M_{0}+{\frac {360^{\circ }}{J_{\text{an}}}}t}" loading="lazy"></dd></dl>

Kepler-Gleichung:

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M(t)=E(t)-{\frac {180^{\circ }}{\pi }}e\sin(E(t))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ecf90c45b1692daf6cd0588bf343157551288cd7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:31.392ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle M(t)=E(t)-{\frac {180^{\circ }}{\pi }}e\sin(E(t))}" loading="lazy"></dd></dl>

Mit der dem vorgegebenen Zeitpunkt entsprechenden mittleren Anomalie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> und der Erdbahn-Exzentrizität <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}" loading="lazy"> wird mit Hilfe der Kepler-Gleichung die exzentrische Anomalie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> ermittelt.

Wahre Anomalie der Erde <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> :

Die exzentrische Anomalie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> führt in einer rein geometrischen Betrachtung in der Ellipse und in ihrem Umkreis (erste der nebenstehenden Abbildungen) wie folgt zur wahren Anomalie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy">:<a href="#cite_note-SW-2">[2]</a>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tan \left({\frac {V(t)}{2}}\right)=\kappa \cdot \tan \left({\frac {E(t)}{2}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d6abec17e46bc99c8db0f88c6fbf89f23ad01f1a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:30.211ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \tan \left({\frac {V(t)}{2}}\right)=\kappa \cdot \tan \left({\frac {E(t)}{2}}\right)}" loading="lazy"></dd>

</mrow>

<msqrt>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {(14)} \quad \kappa ={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0bba2dc23554650e5db0d47eb5ac4ba4c023c070.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:19.14ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {(14)} \quad \kappa ={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}}" loading="lazy"> … eine Ellipsenkonstante</dd></dl>

Das Kepler-Problem ist mit der Ermittlung der wahren Anomalie der Erde gelöst. Im Folgenden wird die Ermittlung der Zeitgleichung abgeschlossen.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Wahre_Anomalie_der_Erde_→_Rektaszension_der_Sonne">Wahre Anomalie der Erde → Rektaszension der Sonne</h3></div>

Wahre Anomalie der Erde → ekliptikale Länge der Erde → ekliptikale Länge der Sonne:

Von der Erde aus gesehen spiegelt sich die Bewegung der Erde um die Sonne wider in der scheinbaren Bewegung der Sonne in der Ekliptik, dem Schnitt der Erdbahnebene mit der um die Erde als Mittelpunkt geschlagenen Richtungskugel (siehe zweite der nebenstehenden Abbildungen).<a href="#cite_note-14">[13]</a><a href="#cite_note-15">[14]</a> Die ekliptikale Länge der Erde und die ekliptikale Länge der Sonne sind somit Synonyme mit dem Formelzeichen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy">.

Bezugspunkt für die <a href="Ekliptikale_L%C3%A4nge" title="Ekliptikale Länge">ekliptikale Länge</a> (und auch der Rektaszension) ist gemäß allgemeinem Brauch der <a href="Fr%C3%BChlingspunkt" title="Frühlingspunkt">Frühlingspunkt</a>. Die ekliptikale Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda (t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda (t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0e1cc2c2f9e6d8b22c0da0bb5fe8f0f47791e4a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.004ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \lambda (t)}" loading="lazy"> der Sonne wird erhalten, indem dem auf das Perihel der Erdbahn bezogenen Winkel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/383b47023708ac9df0e198448491048ec7acb2cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.436ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle V(t)}" loading="lazy"> der Winkel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> zwischen Perihel P und dem dem Frühlingspunkt entsprechenden Ort (F) addiert wird:<a href="#cite_note-16">[15]</a>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {(15)} \quad \lambda (t)=V(t)+L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6093162115211017dbff448e3304d0c2894d7da5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.419ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {(15)} \quad \lambda (t)=V(t)+L}" loading="lazy"></dd></dl>

Der Wert von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> ist negativ. Unter den nahezu konstanten Grundgrößen ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> diejenige, die sich mit der Zeit wegen der relativ schnelleren Annäherung zwischen Frühlingspunkt bzw. Punkt (F) und Perihel am stärksten verändert. Sie wird deshalb nicht nur jährlich als sogenannte Jahreskonstante <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db742b8c210fc611329a4c2dcc3af4b4e1a110cb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.637ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle L_{0}}" loading="lazy"> neu gesetzt, sondern mit folgender Gleichung permanent verändert:

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {(16)} \quad L(t)=L_{0}+{\tfrac {0{,}0172^{\circ }}{J_{\text{tr}}}}t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3636420bbd47e845b4f1f271717d24093310a5db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:26.339ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {(16)} \quad L(t)=L_{0}+{\tfrac {0{,}0172^{\circ }}{J_{\text{tr}}}}t}" loading="lazy"></dd></dl>

Frühlingspunkt und Perihel nähern sich mit etwa <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {0{,}0172^{\circ }}{J_{\text{tr}}}}}">

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {0{,}0172^{\circ }}{J_{\text{tr}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/340868e2ca407d07108b03c7b2e4c15b47fb242b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:6.235ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {0{,}0172^{\circ }}{J_{\text{tr}}}}}" loading="lazy">, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J_{\text{tr}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J_{\text{tr}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01fe3751d29441d12048cd80bfdf9cc55ef4c85d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.807ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle J_{\text{tr}}}" loading="lazy"> das <a href="Tropisches_Jahr" title="Tropisches Jahr">tropische Jahr</a> ist (Zeit für zwei aufeinanderfolgende Passagen des Frühlingspunkts bzw. des Punktes (F)). Unter Beachtung der Gleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {(16)} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {(16)} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0e4374bd663a803456667963f5f76d25ba9079ba.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.134ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {(16)} }" loading="lazy"> ist statt Gleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {(15)} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {(15)} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e8a63a373c91cdbb06b6a466ef29c243076e17b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.134ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {(15)} }" loading="lazy"> zu schreiben:

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {(17)} \quad \lambda (t)=V(t)+L_{0}+{\tfrac {0{,}0172^{\circ }}{J_{\text{tr}}}}t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/31d8f4d4fa745ba1c09fd52ce78b762827eb97e9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:33.388ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {(17)} \quad \lambda (t)=V(t)+L_{0}+{\tfrac {0{,}0172^{\circ }}{J_{\text{tr}}}}t}" loading="lazy"></dd></dl>

Der Wert von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db742b8c210fc611329a4c2dcc3af4b4e1a110cb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.637ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle L_{0}}" loading="lazy"> ist negativ !

Ekliptikale Länge der Sonne → Rektaszension der Sonne:

Neben der Elliptizität der Erdbahn verursacht die zur Erdbahnebene nicht rechtwinklige Lage der <a href="Erdachse" title="Erdachse">Erdachse</a> und ihre Richtungsänderung relativ zur Sonne die Zeitgleichung.

Die Rektaszension <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"> der Sonne lässt sich z. B. mit allgemein bekannten <a href="Astronomische_Koordinatensysteme#Rotierende_äquatoriale_(α,_δ)_→_ekliptikale_Koordinaten_(λ,_β,_geozentrisch)" title="Astronomische Koordinatensysteme">Transformationsgleichungen</a> oder mit folgender einfachen Beziehung im entsprechenden rechtwinkligen sphärischen Dreieck (siehe dritte der nebenstehenden Abbildungen) aus der ekliptikalen Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy"> ermitteln:

</mrow>

<mi>arctan</mi>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {(18)} \quad \alpha (t)=\arctan(\tan(\lambda (t))\cdot \cos(\varepsilon ))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1b501e9c44e5a15190e0cb332cd799da7edfb671.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:38.823ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {(18)} \quad \alpha (t)=\arctan(\tan(\lambda (t))\cdot \cos(\varepsilon ))}" loading="lazy"></dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }" loading="lazy"> ist die Schiefe der Erdachse: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon =23{,}44^{\circ }}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon =23{,}44^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2c126bfacb4c2b6bcbf0a088bbea674064cf119b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.533ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon =23{,}44^{\circ }}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Rektaszension_der_mittleren_Sonne">Rektaszension der mittleren Sonne</h3></div>

Die Bewegung der mittleren Sonne S″ (dritte der rechts stehenden Abbildungen) auf dem Äquator macht die gleichmäßig vergehende Zeit gleich wie die der auf der Erdbahn umlaufenden fiktiven Erde (Punkt Y) anschaulich. Ihr Lauf ist möglichst eng an den der wahren Sonne zu koppeln, damit sie deren Lauf etwa „mittelt“. Das wurde mit folgender Definition erreicht:<a href="#cite_note-DGC-17">[16]</a>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {(19)} \quad \alpha _{M}(t)=L(t)+M(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/30a35a561666ac6b84c67a154416d63014442420.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.814ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {(19)} \quad \alpha _{M}(t)=L(t)+M(t)}" loading="lazy"></dd></dl>

Wenn man die zeitliche Änderung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> vernachlässigt, gilt auch:

<mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(20\right)\quad \alpha _{M}(t)=L_{0}+M(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4de9ff214a7771226789ec009d42b57447908c81.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.607ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left(20\right)\quad \alpha _{M}(t)=L_{0}+M(t)}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Zeitgleichung">Zeitgleichung</h3></div>

Die beiden zur Anwendung der Zeitgleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {(11)} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {(11)} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/74bf2b4812ba57db2186a9f4f5b7f90a4cca2689.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.134ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {(11)} }" loading="lazy"> erforderlichen Rektaszensionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha _{M}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha _{M}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d2d81b7955c8210825a3d68cb5d87b65568f126f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.447ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \alpha _{M}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"> sind gefunden.

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {(11)} \quad {\text{ZG}}=4(\alpha _{M}-\alpha )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7da9ba33bce6b642a7260690d723c299f0369515.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.546ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {(11)} \quad {\text{ZG}}=4(\alpha _{M}-\alpha )}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Zusammenfassung:_Rechenschritte">Zusammenfassung: Rechenschritte</h3></div>

<dl><dd><ul><li>vorgegebener Zeitpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rightarrow }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rightarrow }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/53e574cc3aa5b4bf5f3f5906caf121a378eef08b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \rightarrow }" loading="lazy"> Anomalie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> des fiktiven Punktes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}" loading="lazy"></li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rightarrow }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rightarrow }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/53e574cc3aa5b4bf5f3f5906caf121a378eef08b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \rightarrow }" loading="lazy"> exzentrische Anomalie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> des Punktes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"></li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rightarrow }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rightarrow }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/53e574cc3aa5b4bf5f3f5906caf121a378eef08b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \rightarrow }" loading="lazy"> Anomalie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"></li>

<li>Systemwechsel heliozentrisch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rightarrow }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rightarrow }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/53e574cc3aa5b4bf5f3f5906caf121a378eef08b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \rightarrow }" loading="lazy"> geozentrisch (Bezugspunkt: Perihel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rightarrow }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rightarrow }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/53e574cc3aa5b4bf5f3f5906caf121a378eef08b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \rightarrow }" loading="lazy"> Frühlingspunkt; Anomalie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rightarrow }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rightarrow }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/53e574cc3aa5b4bf5f3f5906caf121a378eef08b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \rightarrow }" loading="lazy"> ekliptikale Länge)</li>

<li>vorgegebener Zeitpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rightarrow }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rightarrow }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/53e574cc3aa5b4bf5f3f5906caf121a378eef08b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \rightarrow }" loading="lazy"> ekliptikale Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> der auf der Ekliptik umlaufenden fiktiven Sonne</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rightarrow }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rightarrow }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/53e574cc3aa5b4bf5f3f5906caf121a378eef08b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \rightarrow }" loading="lazy"> ekliptikale Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy"> der wahren Sonne</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rightarrow }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rightarrow }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/53e574cc3aa5b4bf5f3f5906caf121a378eef08b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \rightarrow }" loading="lazy"> Rektaszension <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"> der wahren Sonne</li>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha _{M}(t)=L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3cb7e72da0db128d470afba1b44e7a0b780de971.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.777ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \alpha _{M}(t)=L}" loading="lazy"> (Rektaszension <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha _{M}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha _{M}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d2d81b7955c8210825a3d68cb5d87b65568f126f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.447ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \alpha _{M}}" loading="lazy"> der auf dem Äquator umlaufenden fiktiven Sonne = ekliptikale Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> der auf der Ekliptik umlaufenden fiktiven Sonne)</li>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{ZG}}=\alpha _{M}-\alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/18783df2389a55b24398095cd2b4014f652422f5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.118ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\text{ZG}}=\alpha _{M}-\alpha }" loading="lazy"></li></ul></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Rechenbeispiel_1">Rechenbeispiel 1</h3></div>

Die Zeitgleichung für den 2. April 2015, 12:00 UT (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t=91\ {\text{d}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t=91\ {\text{d}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3030a2e26027a71a35a6ba8da4bef63b0a2c082.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.136ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle t=91\ {\text{d}}}" loading="lazy">) wird berechnet

Die Jahreskonstanten 2015 sind:<a href="#cite_note-DGC-17">[16]</a><a href="#cite_note-18">[17]</a><a href="#cite_note-19">[18]</a>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{0}=-2{,}3705^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c4ca1908d31cffef3adb6898bca04da0c1f82277.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.728ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle M_{0}=-2{,}3705^{\circ }}" loading="lazy"></dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J_{an}=365{,}259991\ {\text{d}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b3c059b42cd4eb7c6f27915754dd7fa2c7f94744.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.459ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle J_{an}=365{,}259991\ {\text{d}}}" loading="lazy"></dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J_{tr}=365{,}242907\ {\text{d}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/29d85ded39deede75aba3d5316ff319cd3fabdad.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.938ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle J_{tr}=365{,}242907\ {\text{d}}}" loading="lazy"></dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e=0{,}016703}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d9c92792b59a71a578c0593e0883bb5eaa468ec6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.966ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle e=0{,}016703}" loading="lazy"></dd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon =23{,}43734^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5d91abdf5c7c9082a99752e0375f155d6da52e61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.02ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon =23{,}43734^{\circ }}" loading="lazy"></dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{0}=-76{,}8021^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e2e2cb46d83f19f12833fae17b0c1f430ba715f7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.219ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle L_{0}=-76{,}8021^{\circ }}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Rechnungen sind:

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M(t)=M_{0}+{\frac {360^{\circ }}{J_{\text{an}}}}t=87{,}3190^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4a71c1947da1537c3327a61aec6d2939fdfface6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:32.33ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle M(t)=M_{0}+{\frac {360^{\circ }}{J_{\text{an}}}}t=87{,}3190^{\circ }}" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl></dd></dl></dd>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {(16)} \quad L(t)=L_{0}+{\tfrac {0{,}0172^{\circ }}{J_{\text{tr}}}}t=-76{,}7978^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff880e684038cc87e6f911cc5e7929f74df99917.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:39.922ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {(16)} \quad L(t)=L_{0}+{\tfrac {0{,}0172^{\circ }}{J_{\text{tr}}}}t=-76{,}7978^{\circ }}" loading="lazy">

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M(t)=E(t)-{\frac {180^{\circ }}{\pi }}e\sin(E(t))\quad \rightarrow \quad E(t)=88{,}2756^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7e11ba952de2c78f99c2ff3bd1cbd3db75922547.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:55.85ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle M(t)=E(t)-{\frac {180^{\circ }}{\pi }}e\sin(E(t))\quad \rightarrow \quad E(t)=88{,}2756^{\circ }}" loading="lazy"> Die Lösung erfolgte durch <a href="Iteration" title="Iteration">Iteration</a>.

<msqrt>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \kappa ={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}=1{,}0168445}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9017c4f1e162ae4aaed742519a921e1a1cb13867.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:25.729ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \kappa ={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}=1{,}0168445}" loading="lazy"></dd></dl></dd>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tan \left({\frac {V(t)}{2}}\right)=\kappa \tan \left({\frac {E(t)}{2}}\right)\quad \rightarrow \quad V(t)=89{,}2325^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7425eb0c7f1713f566700992cc382d2f8d49a1f0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:53.389ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \tan \left({\frac {V(t)}{2}}\right)=\kappa \tan \left({\frac {E(t)}{2}}\right)\quad \rightarrow \quad V(t)=89{,}2325^{\circ }}" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl></dd></dl></dd>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {(17)} \quad \lambda (t)=V(t)+L(t)=12{,}4347^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7d1a1e896566bb7d998bd5cbe7caf9647a6a4656.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.842ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {(17)} \quad \lambda (t)=V(t)+L(t)=12{,}4347^{\circ }}" loading="lazy"></dd>

</mrow>

<mi>arctan</mi>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {(18)} \quad \alpha (t)=\arctan(\tan(\lambda (t))\cdot \cos(\varepsilon ))=11{,}4369^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a06f5aacd9ebed338bd9290a473be7bfd768124.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:50.598ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {(18)} \quad \alpha (t)=\arctan(\tan(\lambda (t))\cdot \cos(\varepsilon ))=11{,}4369^{\circ }}" loading="lazy"></dd>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {(19)} \quad \alpha _{M}(t)=L(t)+M(t)=10{,}5212^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d7b1386ff42cf917fc95fd8e211973358dfae84e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:39.588ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {(19)} \quad \alpha _{M}(t)=L(t)+M(t)=10{,}5212^{\circ }}" loading="lazy"></dd>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {(11)} \quad {\text{ZG}}(t)={\frac {4\ {\text{min}}}{^{\circ }}}(\alpha _{M}(t)-\alpha (t))=-3{,}6629\ {\text{min}}=-3\ {\text{min}}\ {\text{40}}\ {\text{s}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72d9ff0dad1946f2df1ef70f9e7cefd7e2ff509c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:67.534ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {(11)} \quad {\text{ZG}}(t)={\frac {4\ {\text{min}}}{^{\circ }}}(\alpha _{M}(t)-\alpha (t))=-3{,}6629\ {\text{min}}=-3\ {\text{min}}\ {\text{40}}\ {\text{s}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Zeitgleichung hat am 2. April 2015, 12:00 UT den Wert:

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{ZG}}(91\ {\text{d}})=-3\ {\text{min}}\ {\text{40}}\ {\text{s}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c0a6e71b05da80dfff7ee56e757ecffeae44f4f0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.179ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\text{ZG}}(91\ {\text{d}})=-3\ {\text{min}}\ {\text{40}}\ {\text{s}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Rechenbeispiel_2">Rechenbeispiel 2</h3></div>

Die Zeitgleichung für den 1. Mai 2015, 12:00 UT (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t=120\ {\text{d}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t=120\ {\text{d}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/380ea7e35776e6313261503a32ba0ac2a416d64a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.299ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle t=120\ {\text{d}}}" loading="lazy">) wird berechnet.

Die Rechnungen sind:

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M(t)=M_{0}+{\frac {360^{\circ }}{J_{\text{an}}}}t=115{,}9014^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/edd8cca8abe686f63578cd1db7f8b362511e5520.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:33.492ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle M(t)=M_{0}+{\frac {360^{\circ }}{J_{\text{an}}}}t=115{,}9014^{\circ }}" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl></dd></dl></dd>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {(16)} \quad L(t)=L_{0}+{\tfrac {0{,}0172^{\circ }}{J_{\text{tr}}}}t=-76{,}7966^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/85d4eaf7bd37725a0ff3cecf2d3e8d8c6a3a8cf6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:39.922ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {(16)} \quad L(t)=L_{0}+{\tfrac {0{,}0172^{\circ }}{J_{\text{tr}}}}t=-76{,}7966^{\circ }}" loading="lazy">

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M(t)=E(t)-{\frac {180^{\circ }}{\pi }}e\sin(E(t))\quad \rightarrow \quad E(t)=116{,}7560^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d0d84975dee67246164e71ae797baec70782ce35.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:57.013ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle M(t)=E(t)-{\frac {180^{\circ }}{\pi }}e\sin(E(t))\quad \rightarrow \quad E(t)=116{,}7560^{\circ }}" loading="lazy"> Die Lösung erfolgte durch Iteration.

<msqrt>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \kappa ={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}=1,0168446}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8592d3d45bcdd6de310b5ed0055990b50e8daee0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:26.116ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \kappa ={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}=1,0168446}" loading="lazy"></dd></dl></dd>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tan \left({\frac {V(t)}{2}}\right)=\kappa \cdot \tan \left({\frac {E(t)}{2}}\right)\quad \rightarrow \quad V(t)=117{,}6074^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/125c221bdf41a072b9329b96f0908f6766efc35b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:55.843ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \tan \left({\frac {V(t)}{2}}\right)=\kappa \cdot \tan \left({\frac {E(t)}{2}}\right)\quad \rightarrow \quad V(t)=117{,}6074^{\circ }}" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl></dd></dl></dd>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {(17)} \quad \lambda (t)=V(t)+L(t)=40{,}81075^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b02d546fe192010d8857c00a1407471708558e1d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:38.004ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {(17)} \quad \lambda (t)=V(t)+L(t)=40{,}81075^{\circ }}" loading="lazy"></dd>

</mrow>

<mi>arctan</mi>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {(18)} \quad \alpha (t)=\arctan(\tan(\lambda (t))\cdot \cos(\varepsilon ))=38,38843^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c6f2c46b8a623ff3cff04a2140bfb15d36b582a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:52.147ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {(18)} \quad \alpha (t)=\arctan(\tan(\lambda (t))\cdot \cos(\varepsilon ))=38,38843^{\circ }}" loading="lazy"></dd>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {(19)} \quad \alpha _{M}(t)=L(t)+M(t)=39,10477^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/532058ee204571c13ba43b8da625b67a08eeb20c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:41.138ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {(19)} \quad \alpha _{M}(t)=L(t)+M(t)=39,10477^{\circ }}" loading="lazy"></dd>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {(11)} \quad {\text{ZG}}(t)={\frac {4\ {\text{min}}}{^{\circ }}}(\alpha _{M}(t)-\alpha (t))=2{,}8654\ {\text{min}}=2\ {\text{min}}\ {\text{52}}\ {\text{s}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e16845cd75a32f1d5d30c25d62c61a958625619e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:63.918ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {(11)} \quad {\text{ZG}}(t)={\frac {4\ {\text{min}}}{^{\circ }}}(\alpha _{M}(t)-\alpha (t))=2{,}8654\ {\text{min}}=2\ {\text{min}}\ {\text{52}}\ {\text{s}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Zeitgleichung hat am 1. Mai 2015, 12:00 UT den Wert:

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\text{ZG}}(120\ {\text{d}})=2\ {\text{min}}\ {\text{52}}\ {\text{s}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8cb7416e1425ec80e26c02aea0f6c3229425065c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.534ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\text{ZG}}(120\ {\text{d}})=2\ {\text{min}}\ {\text{52}}\ {\text{s}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Zeitgleichungswerte_für_die_Passage_ausgezeichneter_Bahnpunkte">Zeitgleichungswerte für die Passage ausgezeichneter Bahnpunkte</h3></div>

Vom Kalender und damit von der Jahreskonstanten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/909a62f3ff41169372143733d3767afe0ad3b14d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.308ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle M_{0}}" loading="lazy"> unabhängig sind Zeitgleichungswerte für die Passage ausgezeichneter Punkte durch die Erde auf ihrer Bahn (beziehungsweise durch die Sonne auf der Ekliptik): Frühlings-, Sommer-, Herbst- und Winteranfangspunkt, Perihel und Aphel.

<caption>Zeitgleichungswerte und Zeitpunkte für die Passage ausgezeichneter Bahnpunkte *)

</caption>

<th>

</th>

<th>F-Anfang

</th>

<th>S-Anfang

</th>

<th>H-Anfang

</th>

<th>W-Anfang

</th>

<th>Perihel

</th>

<th>Aphel

</th></tr>

<tr>

<td style="text-align:center">λ/°

</td>

<td style="text-align:center">0

</td>

<td style="text-align:center">90

</td>

<td style="text-align:center">180

</td>

<td style="text-align:center">270

</td>

<td style="text-align:center">L0

</td>

<td style="text-align:center">L0 + 180

</td></tr>

<tr>

<td style="text-align:center">ZG/min

</td>

<td style="text-align:center">−7,44

</td>

<td style="text-align:center">−1,74

</td>

<td style="text-align:center">+7,48

</td>

<td style="text-align:center">+1,70

</td>

<td style="text-align:center">−4,50

</td>

<td style="text-align:center">−4,50

</td></tr>

<tr>

<td style="text-align:center">tP/d **)

</td>

<td style="text-align:center">76,234

</td>

<td style="text-align:center">168,990

</td>

<td style="text-align:center">262,641

</td>

<td style="text-align:center">352,485

</td>

<td style="text-align:center">0

</td>

<td style="text-align:center">182,621

</td></tr>

</tbody></table>

*) Die Werte gelten für das Jahr 2004 mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{0}=-76{,}99^{\circ }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{0}=-76{,}99^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/626ab2592f4ebe6cd6da2d8e972dc2ae0f309e38.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.895ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle L_{0}=-76{,}99^{\circ }}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J_{tr}=365{,}2428\ {\text{d}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J_{tr}=365{,}2428\ {\text{d}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7495f962396022e9741aca1149408b0869f919b6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.613ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle J_{tr}=365{,}2428\ {\text{d}}}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-DGC-17">[16]</a>

**) Die angegebenen Zeiten beziehen sich auf den Periheldurchgang, nicht wie in <a href="#Wahre_Anomalie">obigem Beispiel</a> auf den 1. Januar 12:00 UT.

Ihre Berechnung ist einfacher, als die für beliebige Zeitpunkte, weil die Kepler-Gleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E=f(M)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E=f(M)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43f6d85f95f1e612ec5f7f8d3d946292ebbeabce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.404ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E=f(M)}" loading="lazy"> nicht gelöst werden muss. Von der vorgegebenen ekliptikalen Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy"> eines der ausgezeichneten Punkte ist leicht zur wahren (Gl. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {(15)} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {(15)} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e8a63a373c91cdbb06b6a466ef29c243076e17b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.134ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {(15)} }" loading="lazy">)<a href="#cite_note-L-20">[19]</a> und weiter zur exzentrischen Anomalie zu finden. Aus Letzterer folgt mit der umgestellten Kepler-Gleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M=f(E)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M=f(E)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/392e13b10996ba03ef1ebe33c9a9f4a3aea613ea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.404ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle M=f(E)}" loading="lazy"> die mittlere Anomalie, also der Bahnpunkt der fiktiven mittleren Erde. Die ekliptikale Länge des Perihels<a href="#cite_note-L-20">[19]</a> zu Letzterer addiert (Gl. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {(19)} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {(19)} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1485457f52f56e14251e5e33c7f5613c9895b3a5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.134ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {(19)} }" loading="lazy">) ist die gesuchte mittlere Rektaszension <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha _{M}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha _{M}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d2d81b7955c8210825a3d68cb5d87b65568f126f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.447ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \alpha _{M}}" loading="lazy"> (<a href="Subtraktion#Sprachregelungen,_Grundeigenschaften_und_Notation" title="Subtraktion">Minuend</a> in der Zeitgleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {(11)} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {(11)} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/74bf2b4812ba57db2186a9f4f5b7f90a4cca2689.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.134ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {(11)} }" loading="lazy">). Die wahre Rektaszension <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"> (Subtrahend) ist bei den Punkten Frühling bis Winter mit deren ekliptikaler Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy"> identisch. Nur bei den Punkten Perihel und Aphel ergibt die <a href="Koordinatentransformation" title="Koordinatentransformation">Koordinatentransformation</a> (Gl. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {(18)} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {(18)} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40f1946c6b6fef53315f571bbeccdf56aa64f51a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.134ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {(18)} }" loading="lazy">) kleine Werteunterschiede.

Bei der Vorgehensweise, die Berechnung mit einer vorgegebenen ekliptikalen Länge bzw. einer vorgegebenen wahren Anomalie zu beginnen, erhält man neben der Zeitgleichung auch die seit der Perihelpassage der Erde vergangene Zeit. Das ist die Zeit, die die mittlere Anomalie repräsentiert und sie wird aus dem Zwischenergebnis für die mittlere Anomalie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> mit Hilfe der entsprechend umzustellenden Gleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {(12)} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {(12)} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7aa1b7e1f5b30d8439372c22e641396942918516.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.134ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {(12)} }" loading="lazy"> errechnet.

Diese Vorgehensweise wird gelegentlich auch für die allgemeine Arbeit empfohlen, Zeitgleichungstabellen zu ermitteln.<a href="#cite_note-Schilt-21">[20]</a> Man erspart sich dabei das aufwändige Lösen der Kepler-Gleichung, findet zu Werten für gewünschte Zeitpunkte aber nur durch Probieren oder bei genügender Ergebnisdichte durch <a href="Interpolation_(Mathematik)" title="Interpolation (Mathematik)">Interpolieren</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Andreas Guthmann: Einführung in die Himmelsmechanik und Ephemeridenrechnung. BI-Wiss.-Verl., Mannheim 1994, ISBN 3-411-17051-4.</li>

<li>Peter Colwell: <cite style="font-style:italic">Solving Kepler's equation over three centuries</cite>. Hrsg.: Willmann-Bell. Richmond, VA 1993, ISBN 0-943396-40-9, S. 202.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Kepler-Gleichung&rft.au=Peter+Colwell&rft.btitle=Solving+Kepler%27s+equation+over+three+centuries&rft.date=1993&rft.genre=book&rft.isbn=0943396409&rft.pages=202&rft.place=Richmond%2C+VA" style="display:none"> </li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li>J. M. Danby, T. M. Burkardt: <cite style="font-style:italic">The solution of Kepler's equation. I</cite> (= <cite style="font-style:italic">Cel. Mech.</cite> Band 31). 1983, S. 95–107, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/BF01686811">10.1007/BF01686811</a>, <a href="Bibcode" title="Bibcode">bibcode</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1983CeMec..31...95D">1983CeMec..31...95D</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Kepler-Gleichung&rft.au=J.+M.+Danby%2C+T.+M.+Burkardt&rft.btitle=The+solution+of+Kepler%27s+equation.+I&rft.date=1983&rft.doi=10.1007%2FBF01686811&rft.genre=book&rft.pages=95-107&rft.series=Cel.+Mech." style="display:none"> </li>

<li>B. A. Conway: <cite style="font-style:italic">An improved algorithm due to Laguerre for the solution of Kepler's equation</cite>. 1986, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.2514/6.1986-84">10.2514/6.1986-84</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Kepler-Gleichung&rft.au=B.+A.+Conway&rft.btitle=An+improved+algorithm+due+to+Laguerre+for+the+solution+of+Kepler%27s+equation&rft.date=1986&rft.doi=10.2514%2F6.1986-84&rft.genre=book" style="display:none"> </li>

<li>Seppo Mikkola: <cite style="font-style:italic">A cubic approximation for Kepler's equation</cite> (= <cite style="font-style:italic">Cel. Mech.</cite> Band 40, Nr. 3). 1987, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/BF01235850">10.1007/BF01235850</a>, <a href="Bibcode" title="Bibcode">bibcode</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1987CeMec..40..329M">1987CeMec..40..329M</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Kepler-Gleichung&rft.au=Seppo+Mikkola&rft.btitle=A+cubic+approximation+for+Kepler%27s+equation&rft.date=1987&rft.doi=10.1007%2FBF01235850&rft.genre=book&rft.series=Cel.+Mech." style="display:none"> </li>

<li><a href="Albert_Nijenhuis" title="Albert Nijenhuis">Albert Nijenhuis</a>: <cite style="font-style:italic">Solving Kepler's equation with high efficiency and accuracy</cite> (= <cite style="font-style:italic">Cel. Mech. Dyn. Astr.</cite> Band 51, Nr. 4). 1991, S. 319–330, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/BF00052925">10.1007/BF00052925</a>, <a href="Bibcode" title="Bibcode">bibcode</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1991CeMDA..51..319N">1991CeMDA..51..319N</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Kepler-Gleichung&rft.au=Albert+Nijenhuis&rft.btitle=Solving+Kepler%27s+equation+with+high+efficiency+and+accuracy&rft.date=1991&rft.doi=10.1007%2FBF00052925&rft.genre=book&rft.pages=319-330&rft.series=Cel.+Mech.+Dyn.+Astr." style="display:none"> </li>

<li>Toshio Fukushima: <cite style="font-style:italic">A method solving kepler's equation without transcendental function evaluations</cite> (= <cite style="font-style:italic">Cel. Mech. Dyn. Astron.</cite> Band 66, Nr. 3). 1996, S. 309–319, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/BF00049384">10.1007/BF00049384</a>, <a href="Bibcode" title="Bibcode">bibcode</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1996CeMDA..66..309F">1996CeMDA..66..309F</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Kepler-Gleichung&rft.au=Toshio+Fukushima&rft.btitle=A+method+solving+kepler%27s+equation+without+transcendental+function+evaluations&rft.date=1996&rft.doi=10.1007%2FBF00049384&rft.genre=book&rft.pages=309-319&rft.series=Cel.+Mech.+Dyn.+Astron." style="display:none"> </li>

<li>E. D. Charles, J. B. Tatum: <cite style="font-style:italic">The convergence of Newton-Raphson iteration with Kepler's equation</cite> (= <cite style="font-style:italic">Cel. Mech. Dyn. Astr.</cite> Band 69, Nr. 4). 1997, S. 357–372, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1023/A%3A1008200607490">10.1023/A:1008200607490</a>, <a href="Bibcode" title="Bibcode">bibcode</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1997CeMDA..69..357C">1997CeMDA..69..357C</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Kepler-Gleichung&rft.au=E.+D.+Charles%2C+J.+B.+Tatum&rft.btitle=The+convergence+of+Newton-Raphson+iteration+with+Kepler%27s+equation&rft.date=1997&rft.doi=10.1023%2FA%3A1008200607490&rft.genre=book&rft.pages=357-372&rft.series=Cel.+Mech.+Dyn.+Astr." style="display:none"> </li>

<li>Laura Stumpf: <cite style="font-style:italic">Chaotic behaviour in the newton iterative function associated with kepler's equation</cite> (= <cite style="font-style:italic">Cel. Mech. Dyn. Astr.</cite> Band 74, Nr. 2). 1999, S. 95–109, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1023/A%3A1008339416143">10.1023/A:1008339416143</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Kepler-Gleichung&rft.au=Laura+Stumpf&rft.btitle=Chaotic+behaviour+in+the+newton+iterative+function+associated+with+kepler%27s+equation&rft.date=1999&rft.doi=10.1023%2FA%3A1008339416143&rft.genre=book&rft.pages=95-109&rft.series=Cel.+Mech.+Dyn.+Astr." style="display:none"> </li>

<li>M. Palacios: <cite style="font-style:italic">Kepler equation and accelerated Newton method</cite> (= <cite style="font-style:italic">J. Comp. Appl. Math.</cite> Band 138). 2002, S. 335–346, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1016/S0377-0427%2801%2900369-7">10.1016/S0377-0427(01)00369-7</a>, <a href="Bibcode" title="Bibcode">bibcode</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/2002JCoAM.138..335P">2002JCoAM.138..335P</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Kepler-Gleichung&rft.au=M.+Palacios&rft.btitle=Kepler+equation+and+accelerated+Newton+method&rft.date=2002&rft.doi=10.1016%2FS0377-0427%2801%2900369-7&rft.genre=book&rft.pages=335-346&rft.series=J.+Comp.+Appl.+Math." style="display:none"> </li>

<li>John P. Boyd: <cite style="font-style:italic">Rootfinding for a transcendental equation without a first guess: Polynomialization of Kepler's equation through Chebyshev polynomial equation of the sine</cite> (= <cite style="font-style:italic">Appl. Num. Math.</cite> Band 57, Nr. 1). 2007, S. 12–18, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1016/j.apnum.2005.11.010">10.1016/j.apnum.2005.11.010</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Kepler-Gleichung&rft.au=John+P.+Boyd&rft.btitle=Rootfinding+for+a+transcendental+equation+without+a+first+guess%3A+Polynomialization+of+Kepler%27s+equation+through+Chebyshev+polynomial+equation+of+the+sine&rft.date=2007&rft.doi=10.1016%2Fj.apnum.2005.11.010&rft.genre=book&rft.pages=12-18&rft.series=Appl.+Num.+Math." style="display:none"> </li>

<li><a href="Eric_Weisstein" title="Eric Weisstein">Eric W. Weisstein</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/KeplersEquation.html">Kepler's Equation.</a> In: <a href="MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a> (englisch).</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anmerkung">Anmerkung</h2></div>

<li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> Als Zeitgleichung wird sowohl eine der beiden folgenden mathematischen Gleichungen, als auch ihr Wert zu einem bestimmten Zeitpunkt bezeichnet.

Letzteres entspricht der alten Bedeutung von „Gleichung“ als „zuzufügende Korrektur“. Bei der Zeitkorrektur ist es der der wahren Ortszeit hinzuzufügende Wert, um zur mittleren Ortszeit zu finden. Dabei ist zu beachten, dass früher die umgekehrte Differenz betrachtet wurde: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {\mathrm {ZG} } =\mathrm {MOZ} -\mathrm {WOZ} }">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {\mathrm {ZG} } =\mathrm {MOZ} -\mathrm {WOZ} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75690713b8cf1eceae088c335bce67a52eddc7a8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:20.16ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {\mathrm {ZG} } =\mathrm {MOZ} -\mathrm {WOZ} }" loading="lazy"> >>> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {WOZ} +\mathrm {ZG} =\mathrm {MOZ} .}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {WOZ} +\mathrm {ZG} =\mathrm {MOZ} .}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cb8e8ae35b9f3cee4d0182c07e4b4aad968096b4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:20.807ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {WOZ} +\mathrm {ZG} =\mathrm {MOZ} .}" loading="lazy">

</li>

</ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-WS-1">↑ <a href="#cite_ref-WS_1-0">a</a> <a href="#cite_ref-WS_1-1">b</a> T. P. Wihler und H. R. Schneebeli: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.swisseduc.ch/mathematik/modelle/numerik_physik/docs/keplergesetze.pdf">Von den Keplergesetzen zur Keplergleichung und zum Planetenort</a>, 2. Geometrie der Planetenbewegung: Keplergleichung. «… benutzte Kepler eine normalisierte Zeit, die mittlere Anomalie».

</li>

<li id="cite_note-SW-2">↑ <a href="#cite_ref-SW_2-0">a</a> <a href="#cite_ref-SW_2-1">b</a> <a href="#cite_ref-SW_2-2">c</a> Siegfried Wetzel: <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r261891140">

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .webarchiv-memento a{color:inherit}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20140407085008/http://www.swetzel.ch/sonnenuhren/zgna/zgna1.html">Die Zeitgleichung für Nicht-Astronomen.</a> (<a href="Webarchivierung#Begrifflichkeiten" title="Webarchivierung">Memento</a> vom 7. April 2014 im <a href="Internet_Archive" title="Internet Archive">Internet Archive</a>) Deutsche Gesellschaft für Chronometrie, Mitteilungen Nr. 111, Herbst 2007, Anhang 3.

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> <a href="Jens_Eisert" title="Jens Eisert">Jens Eisert</a> (<a href="Freie_Universit%C3%A4t_Berlin" title="Freie Universität Berlin">Freie Universität Berlin</a>): <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.physik.fu-berlin.de/en/einrichtungen/ag/ag-eisert/teaching/ss-21/KlassischeMechanikKapitel4.pdf">Drehimpuls, die keplerschen Gesetze und der Virialsatz</a>, S. 10. Das zweite Keplersche Gesetz «… ist also nichts anderes als die Drehimpulserhaltung in einer besonderen Formulierung, …»

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> J.-L. Lagrange, Sur le problème de Kepler, in Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Berlin, vol. 25, 1771, Seiten 204–233

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Peter Colwell: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Bessel functions and Kepler's equation</cite> (= <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Amer. Math. Monthly</cite>. Band 99, Nr. 1). Januar 1992, S. 45–48 (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Kepler-Gleichung&rft.au=Peter+Colwell&rft.btitle=Bessel+functions+and+Kepler%27s+equation&rft.date=1992-01&rft.genre=book&rft.pages=45-48&rft.series=Amer.+Math.+Monthly" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> § II.6.67 Numerische Verfahren. <a href="#Literatur">Guthmann</a>, S. 128 f.

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> § II.6.66 Reihenentwicklung der exzentrischen Anomalie. <a href="#Literatur">Guthmann</a>, S. 125 ff.

</li>

<li id="cite_note-Hodograph-8">↑ <a href="#cite_ref-Hodograph_8-0">a</a> <a href="#cite_ref-Hodograph_8-1">b</a> § II.5.58 Der Hodograph. Guthmann, S. 114 f.

</li>

<li id="cite_note-Aufgaben-9"><a href="#cite_ref-Aufgaben_9-0">↑</a> Aufgaben zu § II.5. <a href="#Literatur">Guthmann</a>, S. 122 f.

</li>

<li id="cite_note-Aufgaben10-10">↑ <a href="#cite_ref-Aufgaben10_10-0">a</a> <a href="#cite_ref-Aufgaben10_10-1">b</a> 10. und 11. Aufgabe zu § II.5. Guthmann, S. 123.

</li>

<li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> Solare Basiswerte und hier verwendete Formelzeichen sind dem Sonnenuhren-Handbuch der Deutschen Gesellschaft für Chronometrie e. V., Fachkreis Sonnenuhren entnommen: 2006, S. 43–49.

</li>

<li id="cite_note-13"><a href="#cite_ref-13">↑</a> Wegen der Schalttagregelung im Kalender schwanken beide Werte innerhalb der Vierjahresperiode schwach: ΔtP ≈ ¾Tag, ΔM0 ≈ ¾°.

</li>

<li id="cite_note-14"><a href="#cite_ref-14">↑</a> Manfred Schneider: Himmelsmechanik, Band II: Systemmodelle. BI-Wissenschaftsverlag, 1993, ISBN 3-411-15981-2, S. 507.

</li>

<li id="cite_note-15"><a href="#cite_ref-15">↑</a> Dieser Zusammenhang erlaubt umgekehrt, die ekliptikale Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy"> und den <a href="Fr%C3%BChlingspunkt" title="Frühlingspunkt">Frühlingspunkt</a> F als Bezugspunkt (sowohl für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> als auch für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy">) auf die Erdbahn zurückzuspiegeln (siehe nebenstehende Abbildung, rechts → links).

</li>

<li id="cite_note-16"><a href="#cite_ref-16">↑</a> Zeichen für Winkeldifferenz und Ort in nebenstehender Abbildung in Klammern gesetzt, da Winkel und Ort für den Gebrauch auf der Erdbahn nicht definiert sind.

</li>

<li id="cite_note-DGC-17">↑ <a href="#cite_ref-DGC_17-0">a</a> <a href="#cite_ref-DGC_17-1">b</a> <a href="#cite_ref-DGC_17-2">c</a> Sonnenuhren-Handbuch, 3.3 Berechnung der Zeitgleichung. Deutsche Gesellschaft für Chronometrie e. V., Fachkreis Sonnenuhren, 1900.

</li>

<li id="cite_note-18"><a href="#cite_ref-18">↑</a> Diese „Basiswerte“ gelten für den 1. Januar 2015 12:00 UT. Ihre langsame Veränderung wird im Folgenden während des gesamten Jahres 2015 nicht beachtet. Die in dieser Zeit kumulierte Veränderung schlägt sich erst in den Jahreskonstanten 2016 nieder. Ausnahme ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db742b8c210fc611329a4c2dcc3af4b4e1a110cb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.637ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle L_{0}}" loading="lazy">. Gleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {(8)} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {(8)} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cb55ba87b6b74d8ab19dab0d3bcca177aa5d4350.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.972ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {(8)} }" loading="lazy"> enthält die permanente Veränderung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8db1ab667b7327d5df3aa6f10c853cf3557acf87.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.232ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L(t)}" loading="lazy">.

Die Hochrechnung der Jahreskonstanten erfolgt mit den Basiswerten der Jahre 2000 bzw. 1900 wie folgt (DGC-Handbuch, S. 47):

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{0}=357{,}5256^{\circ }+35999{,}0498^{\circ }\cdot T/36525}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/506d41a12890336fac0428338deedbc047e01de4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:41.539ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle M_{0}=357{,}5256^{\circ }+35999{,}0498^{\circ }\cdot T/36525}" loading="lazy"></dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J_{tr}=(365{,}24219878+6{,}16\cdot 10^{-8}\cdot J){\text{ Tage}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/82616eecef1fab45dc3dd50560927f4f4c6d0189.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:43.277ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle J_{tr}=(365{,}24219878+6{,}16\cdot 10^{-8}\cdot J){\text{ Tage}}}" loading="lazy"></dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J_{an}=(365{,}25964124+3{,}04\cdot 10^{-8}\cdot J){\text{ Tage}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/29f15d1bc55cfcee2367b61ff52a12e8cb12cf00.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:43.798ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle J_{an}=(365{,}25964124+3{,}04\cdot 10^{-8}\cdot J){\text{ Tage}}}" loading="lazy"></dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e_{0}=0{,}016709-4{,}2\cdot 10^{-7}\cdot T/36525}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6ba8ca2f4d44e116fe2182198c305317d1883a2b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.459ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle e_{0}=0{,}016709-4{,}2\cdot 10^{-7}\cdot T/36525}" loading="lazy"></dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{0}=23{,}439291^{\circ }-0{,}013004^{\circ }\cdot T/36525}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9d6987cd4883dc52c71f683b41efa1e8b5047c08.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:39.206ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{0}=23{,}439291^{\circ }-0{,}013004^{\circ }\cdot T/36525}" loading="lazy"></dd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{0}=282{,}9400^{\circ }+1{,}7192^{\circ }\cdot T/36525}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9601736631fc389eba67ec81fd9ba817e8ff2ebd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.218ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L_{0}=282{,}9400^{\circ }+1{,}7192^{\circ }\cdot T/36525}" loading="lazy"></dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> ist die Zahl der Tage seit 1. Januar 2000 12:00 UT; <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/359e4f407b49910e02c27c2f52e87a36cd74c053.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.471ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle J}" loading="lazy"> ist die Zahl der Jahre seit 1900. Bei den Winkeln <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/909a62f3ff41169372143733d3767afe0ad3b14d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.308ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle M_{0}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db742b8c210fc611329a4c2dcc3af4b4e1a110cb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.637ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle L_{0}}" loading="lazy"> ist modulo 360° zu rechnen, und sie müssen zwischen −180° und +180° liegen.

</li>

<li id="cite_note-19"><a href="#cite_ref-19">↑</a> Die Jahreskonstanten (z. B. für 2015) werden hier so bezeichnet, weil sie nur für das eine Jahr benutzt werden, auf das sie sich beziehen. Darüber hinaus gelten sie ohne bedeutsame Einbuße an Genauigkeit der Zeitgleichung auch für Termine in fernliegenden Jahren (z. B. für 2050 oder 1950). Die Zeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> nimmt dann entsprechend hohe positive bzw. negative Werte an; das gegebene Rechenschema bleibt aber unverändert anwendbar. Bei der Bestimmung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"> sind die Nebenwerte des Arkustangens zu verwenden, die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E/2}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E/2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e71e870f273b8e7646602bdc424979f4f253111c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.101ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E/2}" loading="lazy"> bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy"> am nächsten liegen.

</li>

<li id="cite_note-L-20">↑ <a href="#cite_ref-L_20-0">a</a> <a href="#cite_ref-L_20-1">b</a> Dabei wird mit der ekliptikalen Länge L = L0 des Perihels gerechnet, was ausreichend genau und wegen der nicht bekannten Zeit t auch nicht anders möglich ist.

</li>

<li id="cite_note-Schilt-21"><a href="#cite_ref-Schilt_21-0">↑</a> Heinz Schilt: Zur Berechnung der mittleren Zeit für Sonnenuhren. Schriften der Freunde alter Uhren, 1990.

</li>

</ol>

<div>

Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/107532663X">107532663X</a> | <a href="Library_of_Congress_Control_Number" title="Library of Congress Control Number">LCCN</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh93006016">sh93006016</a> </div>

</div></div></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-12-06" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Kepler-Gleichung&oldid=262182328">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

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</body></html>